Beispiel 1

\( \left\{ \begin{array}{c} x + \large \frac{y}{3} \normalsize = 11 \\ \large \frac{x}{4} \normalsize + y = 11\; \end{array} \right. \qquad \qquad \) 2x2-System

Beispiel 2

\(\left\{ \begin{array}{c} 300c + f = 4000\\500c + f = 6400 \end{array} \right. \qquad \qquad \) 2x2-System

Beispiel 3

\(\left\{ \begin{array}{c}{x^2} + 2{y^2} = 33\\3x - 2y = 11 \end{array} \right. \qquad \qquad \) 2x2-System

Beispiel 4

\( \left\{ \begin{array}{c}2u + 4v - 5w = 21\\4u + 3v + 4w = - 1\\u - 3v - 4w = - 1.5\end{array} \right. \qquad \qquad \) 3x3-System

Im Beispiel 1:

Das Wertepaar  \(x = 8\), \(y = 9 \;\) erfüllt beide Gleichungen, ist also Lösung des Systems.
L={(8,9)}

Im Beispiel 4:

Das Wertetupel   \(u = -0.5\), \(v = 3\), \(w=-2\; \) erfüllt beide Gleichungen, ist also Lösung des Systems.
L={(-0.5, 3, -2)}

Prinzip:

Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen auf und setze den gefundenen Term in die andere Gleichung ein. Die "ersetzte" Variable fällt so weg.

Im Beispiel 1:

\(\left\{ \begin{array}{l}\;x + \large \frac{y}{3} \normalsize = 11 \\ \large \frac{x}{4} \normalsize + y = 11\;\end{array} \right. \qquad \qquad \)

Erste Gleichung \(x + \large \frac{y}{3} \normalsize = 11\) wird nach x aufgelöst:

\(x = 11 - \large \frac{y}{3}\)

Einsetzen in zweite Gleichung \( \large \frac{x}{4} \normalsize + y = 11\):

\( \large \frac{{11 - \frac{y}{3}}} {4} \normalsize + y = 11\)

Nach Multiplikation mit 4 ergibt sich daraus:

\( \begin{eqnarray} 11 - \frac{y}{3} + 4y &=& 44\quad &| \cdot 3 \\ 33 - y + 12y &=& 132\quad &| - 33 \\ 11y &=& 99\quad &|\;:11 \\ y &=& 9 \end{eqnarray} \)

Nun noch das gefundene y in die aufgelöste Gleichung \(x = 11 -\large \frac{y}{3}\) einsetzen:

\(x = 11 - \large \frac{9}{3} \normalsize = 8\)

Die Lösung des Systems lautet somit:  \( \quad x = 8\) , \(y = 9\)

Prinzip:

Löse beide Gleichungen nach derselben Unbekannten auf und setze die beiden Terme gleich. Die "gleichgesetzte" Variable fällt so weg.

Im Beispiel 2:

\(\left\{ \begin{array}{l}300c + f = 4000\\500c + f = 6400 \end{array} \right.\)

Erste Gleichung \(300c + f = 4000\) wird nach f aufgelöst:\(\quad \; f = 4000 - 300c\)
Zweite Gleichung \(500c + f = 6400\) wird nach f aufgelöst: \( \; f = 6400 - 500c\)

Gleichsetzen der rechten Seiten:

\( \begin{eqnarray} 4000 - 300c &=& 6400 - 500c\quad &|\;+ 500c - 4000 \\ 200c &=& 2400\quad &|\;:200\\ c &=& 12 \end{eqnarray}\)

Nun noch das gefundene c in eine der nach f aufgelösten Gleichungen einsetzen (z.B. \(f = 4000 - 300c\)):

\(f = 4000 - 3600 = 400\)

Die Lösung des Systems lautet somit: \(c = 12\), \(f = 400\)

Prinzip:

Multipliziere (wenn nötig) eine oder beide Gleichungen so mit geeigneten Zahlen, dass vor einer der Unbekannten in beiden Gleichungen dieselbe Zahl steht, einmal mit positivem und einmal mit negativem Vorzeichen.
Addiere dann die beiden Gleichungen, was dazu führt, dass die entsprechende Variable wegfällt.

Beispiel 5

\( \left\{\begin{array}{c}5x + 2y = - 4\\ - 4x + y = 11\end{array} \right.\)

Wenn man die zweite Gleichung mit (-2) multipliziert, so entsteht (durch Ersetzen der "alten" Gleichung mit der neuen, dazu äquivalenten) das neue System

\( \left\{\begin{array}{c}5x + 2y = - 4\\8x - 2y = - 22 \end{array} \right. \)

Addition der beiden Gleichungen liefert eine neue Gleichung für die allein verbleibende Variable x (die Variable y ist dagegen weggefallen, was ja das Ziel der vorherigen Multiplikation war); diese kann leicht nach x aufgelöst werden:

\( \begin{eqnarray} 13x &=& - 26\quad |\;:13\\x &=& - 2 \end{eqnarray}\)

Um y zu erhalten, verwenden wir eine der ursprünglichen Gleichungen (egal welche) und setzen ein:

\(\begin{eqnarray} 5x + 2y &=& - 4\\ - 10 + 2y &=& - 4\quad |\; + 10\\y &=& 3 \end{eqnarray}\)

Die Lösung des Systems lautet somit:  \( x=- 2 \;,\;y = 3\)

Beispiel 6

\( \left\{\;\begin{eqnarray}2x - y &=& - 2\\ - 4x + 2y &=& 4 \end{eqnarray} \right.\)

Wenn man - in der Absicht, z.B. y zu eliminieren - die erste Gleichung mit 2 multipliziert, so entsteht das neue System

\( \left\{ \; \begin{eqnarray}4x - 2y &=& -4\\-4x + 2y &=& 4 \end{eqnarray} \right. \)

Bei der Addition der beiden Gleichungen fällt nun nicht nur y, sondern auch x weg; es entsteht die "allgemeingültige" Gleichung

\(0=0\)

Dies bedeutet, dass beide Gleichungen dieselbe Lösungsmenge haben (was man ja schon nach der Multiplikation deutlich sieht, weil identische Terme dastehen). Somit besteht die Lösungsmenge aus allen Wertepaaren, welche die Gleichung \(2x-y=-2\) erfüllen.

Das System hat also unendlich viele Lösungen.

Im Beispiel 3:

\( \;\left\{ \begin{array}{rl} \;{x^2} + 2{y^2} = 33\\3x -2y = 11 \end{array} \right. \)

Die zweite Gleichung (die ja linear ist), lässt sich einfach nach y auflösen:

\( \begin{eqnarray} 3x - 2y = 11\quad &|\, - 3x \\- 2y = 11 - 3x\quad &|\,:( - 2) \\ y = - 5.5 + 1.5x \end{eqnarray}\)

Einsetzen in die erste Gleichung:

\( {x^2} + 2 \cdot {( - 5.5 + 1.5x)^2} = 33 \)

Mit Hilfe der Binomischen Formeln lässt sich der linke Term vereinfachen:

\(\begin{eqnarray}{x^2} + 2 \cdot (30.25 - 16.5x + 2.25{x^2}) &=& 33\\{x^2} + 60.5 - 33x + 4.5{x^2} &=& 33 \\5.5{x^2} - 33x + 27.5 &=& 0 \end{eqnarray}\)

Damit haben wir eine quadratische Gleichung für x, welche sich mit der Auflösungsformel (siehe Themenfeld Gleichungen - Einführung) lösen lässt:

\({x_{1\,,2}} = \large \frac{{33 \pm \sqrt {{{( - 33)}^2} - 4 \cdot 5.5 \cdot 27.5} }}{{2 \cdot 5.5}} = \frac{{33 \pm \sqrt {484} }}{{11}} = \frac{{33 \pm 22}}{{11}}\)

Somit gibt es zwei Lösungen für x:

\({x_1} = 5 \quad {x_2} = 1\)

Zu jedem der beiden Werte gibt es einen "Partner" y, den man durch Einsetzen in die oben aufgelöste Gleichung \(y = - 5.5 + 1.5x\) erhält:

\({y_1} = - 5.5 + 1.5 \cdot 5 = 2\)

\({y_2} = - 5.5 + 1.5 \cdot 1 = - 4\)

Das nicht-lineare System hat also zwei Lösungen:

\(L = \left\{ {(5,2);(1\,, - 4)} \right\}\)

Beispiel 7

Lineares 3x3-System:

\(\left\{ \begin{array}{c} 2x + y + 4z = - 2\\ - x - 2y + z = - 5\\3x - 8y - 7z = 23 \end{array} \right. \qquad\) (*)

Multiplizieren Sie z.B. die erste Gleichung mit 2 und addieren Sie das Ergebnis zur zweiten Gleichung:

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 2y + 8z = - 4}\\ {- x - 2y + z = - 5}\end{array}} \right. \;\begin{array}{*{20}{c}} + \\ + \end{array} \quad \rightarrow \quad 3x + 9z = - 9\)

Natürlich benötigen wir noch eine zweite Gleichung, da aus dieser ersten alleine x und z nicht bestimmt werden können. Sicher muss dabei die dritte Gleichung einbezogen werden; wichtig ist aber auch, dass nun auch hier y eliminiert wird (und nicht etwa x oder z, selbst wenn dies einfacher wäre).

Addieren Sie z.B. das (-4)-fache der zweiten Gleichung zur dritten:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 8y - 4z = 20}\\{3x - 8y -7z = 23}\end{array}} \right. \;\begin{array}{*{20}{c}} + \\ + \end{array} \quad \rightarrow \quad 7x - 11z = 43\)

Entstanden ist damit ein lineares 2x2-System für x und z:

\( \left\{ \begin{array}{c} 3x + 9z = - 9\\7x - 11z = 43 \end{array} \right. \qquad\) (**)

Multiplikation der ersten Gleichung mit 11 und der zweiten mit 9 führt dazu, dass durch Addition auch noch z eliminiert werden kann:

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{33x + 99z = - 99}\\{63x - 99z = 387}\end{array}} \right. \;\begin{array}{*{20}{c}} + \\ + \end{array} \quad \rightarrow \quad 96x = 288 \rightarrow \quad x = 3\)

Durch Einsetzen von x in eine der Gleichungen des Systems (**) erhalten Sie zunächst z:

z.B. in Gleichung 1: \(9 + 9z = - 9 \quad \rightarrow \quad z = - 2\)

Und schliesslich werden beide bereits gefundenen Werte in Gleichung 1 aus (*) eingesetzt:

\(6 + y - 8 = - 2\quad \rightarrow \quad y = 0\)

Das System hat die Lösung

\(L = \left\{ {(3,0, - 2)} \right\}\)