MAT01 Mathematische Grundlagen

Stückweise lineare Funktionen

Im deutschen Einkommensteuergesetz ist die Berechnung des Vorwegabzuges innerhalb der Vorsorgepauschale für den Fall eines ledigen rentenversicherungspflichtigen Arbeitnehmers wie folgt beschrieben: Der Vorwegabzug beträgt 18% des Bruttoeinkommens; er darf jedoch 6000 Euro abzüglich 16% des Bruttoeinkommens nicht überschreiten.

a) Bis zu welchem Bruttoeinkommen beträgt der Vorwegabzug 18%?

b) Wie hoch ist der maximal mögliche Vorwegabzug?

c) Beschreiben Sie den Vorwegabzug V (in Euro) in Abhängigkeit des Bruttoeinkommens E (in Euro) mit Hilfe von drei Funktionsgleichungen.

Zeichnen Sie den Graphen von V(E) für \(0 ≤ E ≤ 50'000\).

Aufgabe a

V = Vorwegabzug in Euro

E = Einkommen in Euro

Skizzieren Sie den Graphen von V in Abhängigkeit von E für "kleine" Einkommen. Ihre Skizze sollte so aussehen. Wenn sie E um 10'000 Enheiten erhöhen, dann nimmt V um 1'800 Einheiten zu. Die Funktion des Vorwegabzugs lautet daher für "kleine" Einkommen \(V(E)=0.18E\). Für "grosse" Einkommen muss allerdings berücksichtigt werden, dass der Vorwegabzug 6000 Euro abzüglich 16% des Bruttoeinkommens nicht überschritten werden darf. Die Funktion des Vorwegabzugs lautet daher für "grosse" Einkommen \(V(E)=6000-0.16E\).

Der Schnittpunkt der beiden obigen Funktionen führt zur Berechnung des Einkommen, bis zu welchem der Vorwegabzug 18% des Bruttoeinkommens ist:

\(0.18E=6000-0.16E \quad \Rightarrow \quad E=17'647.05 \)

Das heisst, bis zu einem Bruttoeinkommen von 17'647.05 beträgt der Vorwegabzug 18% des Bruttoeinkommens und ab einem Bruttoeinkommen von 17'647.05 beträgt der Vorwegabzug 6000 Euro abzüglich 16% des Bruttoeinkommens.

Aufgabe b

Der maximale Abzug V^max ist

V^max \(= 0.18 \cdot 17'647.05=3'176.45\)

Aufgabe c

(i) Wie wir in den Berechnungen von Aufgabe a) gesehen haben, beträgt der Vorabzug für Einkommen E zwischen 0 und 17'647.05:

\(V(E) = 0.18E\)

V ist also proportional zu E.

(ii) Ab dem Einkommen von 17647.05 ist der Vorabzug 6000 – 16% des Einkommens gemäss den Berechnungen in Aufgabe a):

\(V(E)=6000-0.16E\)

V ist linear abhängig von E, der Graph ist eine fallende Gerade. Diese Abhängigkeit gilt, bis der Vorabzug Null ist: (Bemerkung: Dies muss man selber merken, da der Vorwegabzug aus ökonomischer (und nicht mathematischer) Sicht nicht negativ sein kann.)

\(V(E)=6000-0.16E=0 \quad \Rightarrow \quad E=37'500\)

(iii) Ab E = 37'500 ist kein Vorabzug mehr möglich:

\(V(E)=0\)

Zusammengefasst schreibt man:

 

Skizze und Zusatzaufgabe

Überlegen Sie, wie sich der Graph ändert, wenn Sie den Proportionalitätsfaktor von 18% variieren. Analog für die Änderung der Konstanten 6000 oder des Prozentsatzes 16%. Kontrollieren sie anschliessend mit Hilfe der folgenden Simulation.

Aufgabe a)

\(0.18E=6000-0.16E \quad \Rightarrow \quad E=17'647.05 \)

Aufgabe b)

V^max \(= 0.18 \cdot 17'647.05=3'176.45\)

Aufgabe c)



Die dazugehörige Skizze finden sie hier.