- Aufgabenstellung
- Kommentierte Lösung
- Kurzversion Lösung
Betrachten Sie die Funktion
$f:x \to y = \frac{{ - {x^2} + 5x + 8}}{{2{x^2} - 8}}$
a) ${D_f} = \mathbb{R}\backslash \left\{ ? \right\}$
b) Ermitteln Sie die Nullstellen.
c) Bestimmen Sie die Asymptoten.
d) Zeichnen Sie den Graphen.
Eigenschaften
Gemäss der Theorie über gebrochen rationale Funktionen (Block II, Lernsequenz 2) gilt:
Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen
a) Definitionsbereich
Der grösstmögliche Definitionsbereich sind die reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Nenners. Deshalb wird der Nenner gleich Null gesetzt:
$2{x^2} - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad {x_1} = -2 \quad {x_2} = 2 \quad $ (quadratische Gleichung)
Die beiden so gefundenen Werte gehören nicht zum Definitionsbereich:
${D_f} = \mathbb{R}\backslash \left\{2,-2 \right\}$
b) Nullstellen
Die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion werden gefunden, indem man die Nullstellen der Zählers bestimmt; sie stimmen nämlich (sofern der Nenner nicht Null ist) mit jenen der Funktion überein.
$ -{x^2} + 5x + 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad {x_3} = -1.275 \quad {x}_{4} = 6.275 \quad $ (quadratische Gleichung)
(Für die beiden gefundenen Werte ist der Nenner ungleich Null.)
c) Asymptoten
Senkrechte Asymptoten:
Sie gehen durch die Nullstellen des Nenners bei -2 und 2, die
bereits in a) bestimmt wurden.
(Ihre Gleichungen lauten also
x=2 bzw. x=-2).
Waagrechte Asymptote:
Zählergrad und Nennergrad sind beide gleich 2, also gleich gross: grad(Z) = grad(N) = 2.Der Quotient der Koeffizienten der grössten x-Potenzen bestimmen die Höhe der Asymptote.
$\frac{{ \color {red} {- 1} \cdot {x^2} + 5x + 8}}{{\color {red} {2} \cdot {x^2} - 8}}\, \longrightarrow \, - \frac{1}{2} \quad $ für ${x \to \infty }$
(Die horizontale Asymptote hat somit die Gleichung $y=- \frac{1}{2}$.)
d) Skizze
Zeichnen Sie zuerst die Asymptoten und Nullstellen.
Anschliessend tragen Sie einige Punkte ein und verbinden diese zum Graphen.
a) Definitionsbereich
Definitionsbereich = reelle Zahlen ohne die Nullstellen des Nenners.
$2{x^2} - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad {x_1} = -2 \quad {x_2} = 2 \quad $
Also:
${D_f} = \mathbb{R}\backslash \left\{2,-2 \right\}$
b) Nullstellen
Suche die Nullstellen des Zählers:
$ -{x^2} + 5x + 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad {x_3} = -1.275 \quad {x}_{4} = 6.275 \quad $
c) Asymptoten
Senkrechte Asymptoten:
Durch die Nullstellen des Nenners bei -2 und 2 (vgl. a).
Waagrechte Asymptote:
Zählergrad und Nennergrad sind beide gleich gross.$\frac{{ \color {red} {- 1} \cdot {x^2} + 5x + 8}}{{\color {red} {2} \cdot {x^2} - 8}}\, \longrightarrow \, - \frac{1}{2} \quad $ für ${x \to \infty }$
(Gleichung der Asymptote: $y=-\frac{1}{2}$.)