Problem einordnen
Es sollen Informationen, die im Graphen der Aufgabenstellung
stecken, verwendet werden, um die Parameter a und b zu berechnen.
Als erstes sollten wir erkennen, dass gemäss der
Aufgabenstellung die gegebene Funktion ein Quotient von Polynomen
ist, das heisst es handelt sich um eine gebrochen rationale
Funktion. Gemäss der Theorie über gebrochen rationale Funktionen
(Block II, Lernsequenz 2) gilt:
Diese Eigenschaften werden wir nun brauchen, um die Parameter a
und b zu berechnen.
Vorbemerkung: Lage der horizontalen Asymptote
Weil Grad(Z)=Grad(N)=1, also für Zähler und Nenner gleich ist,
wissen wir, dass die Funktion C(Y) immer eine horizontale
Asymptote besitzen muss. In beiden Teilaufgaben ist die Lage der
horizontalen Asymptote ein wichtiger Aspekt: in a) ist die
entsprechende Eigenschaft vorgegeben, in b) gesucht.
Es ist deshalb sinnvoll, zunächst allgemein zu überlegen,
welchen Einfluss die beiden Parameter auf die Gleichung der
horizontalen Asymptote haben.
$\frac{{\color {red} {a} \cdot Y+b}}{{\color {red} {2} \cdot
Y+5}}\, \longrightarrow \, \frac{a}{2} \quad $ für ${Y \to \infty
}$
Die Funktion hat also eine horizontale Asymptote auf der Höhe
von a/2. (Der Parameter b beeinflusst dagegen die Lage der
horizontalen Asymptote nicht.)
Lösung von a)
Wir wissen aus der Aufgabenstellung, dass die horizontale
Asymptote auf der Höhe von 4 ist. Daher wissen wir, dass
\(\frac{a}{2}=4\) ist und somit \(a=8\).
Wir verwenden nun die folgende zweite Information: Die Funktion
C(Y) hat eine Nullstelle bei Y = 0.
Gemäss den müssen wir folglich den
Zähler gleich Null setzen (Null geteilt durch irgendeine negative
oder positive Zahl - solange diese Zahl im Nenner ungleich von
Null ist - ist immer Null):
\(a \cdot Y+b=0 \quad \Rightarrow \quad 8 \cdot Y+b=0\)
Da die Funktion gemäss der Grafik eine Nullstelle an der Stelle
Y=0 hat, setzen wir dies ein:
\(8 \cdot 0+b=0 \quad \Rightarrow \quad b=0\)
Die Funktionsgleichung lautet also:
\(C(Y)=\large {\frac{{8 \cdot Y}}{{2 \cdot Y+5}}}\)
Lösung von b)
Wir kennen zwei Wertepaare:
(1) Die Funktion C(Y) hat eine Nullstelle bei Y = 5.
(2) Für \(Y=20\) ist \(C=2\).
Anlog zu a) folgt aus der ersten Bedingung, dass für Y = 5 der
Zähler Null sein muss:
\(5 \cdot a+b=0 \)
Die zweite Bedingung ergibt:
\(C(20)=\frac{{a \cdot 20+b}}{{2 \cdot 20+5}}=2\)
Durch Wegmultiplizieren des Nenners erhält man
\(20 \cdot a+b=90\)
Wir haben damit zwei Bedingungen, die Gleichzeitig zu erfüllen
sind.
Anders gesagt: zu lösen ist das Gleichungssystem
\( \left\{ \;
\begin{eqnarray}5a +b &=& 0 \\ 20a + b &=& 90 \end{eqnarray}
\right.\)
Dieses kann zum Beispiel mittels Additionsmethode (siehe auch Gleichungssysteme) aufgelöst werden;
subtrahiert man die erste Gleichung von der zweiten, so folgt
\(15 \cdot a=90\quad \Rightarrow \quad a=6\)
Einsetzen dieses Wertes z.B. in die zweite Gleichung liefert
danach
\(b=-30\)
Die Funktionsgleichung lautet also:
\(C(Y)=\large {\frac{{6 Y-30}}{{2 Y+5}}}\)
Die folgende Simulation erlaubt es Ihnen, in der
Funktionsgleichung
\(C(Y)=\large {\frac{{a \cdot Y+b}}{{2 Y+c}}}\)
neben den Parametern a und b (wie in der Aufgabe) auch noch einen
dritten Parameter c (der dort den festen Wert 5 hatte) zu
variieren und so ihren Einfluss auf den Graphen studieren.
Erkenntnis: der Parameter a beeinflusst die waagrechte
Asymptote, der Parameter c die Lage der vertikalen Asymptote.
