MAT01 Mathematische Grundlagen

Engelfunktionen

Betrachtet werden Engelfunktionen vom Typ

\(C(Y)=\large {\frac{{a \cdot Y+b}}{{2 \cdot Y+5}}} \quad \) (Y und C in tausend CHF/Monat).

Weil Zähler und Nenner vom gleichen Grad sind (nämlich 1), ist klar, dass in jedem Fall eine horizontale Asymptote existieren muss.

a)

Die horizontale Asymptote hat die Gleichung C=4; der Graph geht durch den Koordinatenursprung (0/0).
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

b)

Der Graph hat bei Y=5 eine Nullstelle; bei einem Haushalteinkommen von 20 beträgt der Konsum 2.
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, und berechnen Sie danach die Gleichung der horizontalen Asymptote.

Problem einordnen

Es sollen Informationen, die im Graphen der Aufgabenstellung stecken, verwendet werden, um die Parameter a und b zu berechnen.

Als erstes sollten wir erkennen, dass gemäss der Aufgabenstellung die gegebene Funktion ein Quotient von Polynomen ist, das heisst es handelt sich um eine gebrochen rationale Funktion. Gemäss der Theorie über gebrochen rationale Funktionen (Block II, Lernsequenz 2) gilt:

Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen

Diese Eigenschaften werden wir nun brauchen, um die Parameter a und b zu berechnen.

Vorbemerkung: Lage der horizontalen Asymptote

Weil Grad(Z)=Grad(N)=1, also für Zähler und Nenner gleich ist, wissen wir, dass die Funktion C(Y) immer eine horizontale Asymptote besitzen muss. In beiden Teilaufgaben ist die Lage der horizontalen Asymptote ein wichtiger Aspekt: in a) ist die entsprechende Eigenschaft vorgegeben, in b) gesucht.

Es ist deshalb sinnvoll, zunächst allgemein zu überlegen, welchen Einfluss die beiden Parameter auf die Gleichung der horizontalen Asymptote haben.

$\frac{{\color {red} {a} \cdot Y+b}}{{\color {red} {2} \cdot Y+5}}\, \longrightarrow \, \frac{a}{2} \quad $ für ${Y \to \infty }$

Die Funktion hat also eine horizontale Asymptote auf der Höhe von a/2. (Der Parameter b beeinflusst dagegen die Lage der horizontalen Asymptote nicht.)

Lösung von a)

Wir wissen aus der Aufgabenstellung, dass die horizontale Asymptote auf der Höhe von 4 ist. Daher wissen wir, dass \(\frac{a}{2}=4\) ist und somit \(a=8\).

Wir verwenden nun die folgende zweite Information: Die Funktion C(Y) hat eine Nullstelle bei Y = 0.

Gemäss den Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen müssen wir folglich den Zähler gleich Null setzen (Null geteilt durch irgendeine negative oder positive Zahl - solange diese Zahl im Nenner ungleich von Null ist - ist immer Null):

\(a \cdot Y+b=0 \quad \Rightarrow \quad 8 \cdot Y+b=0\)

Da die Funktion gemäss der Grafik eine Nullstelle an der Stelle Y=0 hat, setzen wir dies ein:

\(8 \cdot 0+b=0 \quad \Rightarrow \quad b=0\)

Die Funktionsgleichung lautet also:

\(C(Y)=\large {\frac{{8 \cdot Y}}{{2 \cdot Y+5}}}\)

Lösung von b)

Wir kennen zwei Wertepaare:

(1) Die Funktion C(Y) hat eine Nullstelle bei Y = 5.

(2) Für \(Y=20\) ist \(C=2\).

Anlog zu a) folgt aus der ersten Bedingung, dass für Y = 5 der Zähler Null sein muss:

\(5 \cdot a+b=0 \)

Die zweite Bedingung ergibt:

\(C(20)=\frac{{a \cdot 20+b}}{{2 \cdot 20+5}}=2\)

Durch Wegmultiplizieren des Nenners erhält man

\(20 \cdot a+b=90\)

Wir haben damit zwei Bedingungen, die Gleichzeitig zu erfüllen sind.

Anders gesagt: zu lösen ist das Gleichungssystem

\( \left\{ \; \begin{eqnarray}5a +b &=& 0 \\ 20a + b &=& 90 \end{eqnarray} \right.\)

Dieses kann zum Beispiel mittels Additionsmethode (siehe auch Gleichungssysteme) aufgelöst werden; subtrahiert man die erste Gleichung von der zweiten, so folgt

\(15 \cdot a=90\quad \Rightarrow \quad a=6\)

Einsetzen dieses Wertes z.B. in die zweite Gleichung liefert danach

\(b=-30\)

Die Funktionsgleichung lautet also:

\(C(Y)=\large {\frac{{6 Y-30}}{{2 Y+5}}}\)

 

Die folgende Simulation erlaubt es Ihnen, in der Funktionsgleichung

\(C(Y)=\large {\frac{{a \cdot Y+b}}{{2 Y+c}}}\)

neben den Parametern a und b (wie in der Aufgabe) auch noch einen dritten Parameter c (der dort den festen Wert 5 hatte) zu variieren und so ihren Einfluss auf den Graphen studieren.

Erkenntnis: der Parameter a beeinflusst die waagrechte Asymptote, der Parameter c die Lage der vertikalen Asymptote.

Lösung von a)

Allgemein gilt hier für die waagrechte Asymptote:

$\frac{{a \cdot Y+b}}{{ 2 \cdot Y+5}}\, \longrightarrow \, \frac{a}{2} \quad $ für ${Y \to \infty }$

Horizontale Asymptote auf der Höhe von 4:

\(\frac{a}{2}=4 \quad \Rightarrow \quad a=8\)

Nullstelle an der Stelle Y=0:

\(a \cdot 0+b=0 \quad \Rightarrow \quad b=0\)

Funktionsgleichung: \(C(Y)=\large{\frac{{8 Y}}{{2 Y+5}}}\)

Lösung von b)

Nullstelle bei Y=5: \(\quad a \cdot 5+b=0 \)

Für Y=20 ist C=2: \( \quad C(20)=\frac{{a \cdot 20+b}}{{2 \cdot 20+5}}=2\)

Daraus ergibt sich nach etwas Umformen das Gleichungssystem

\( \left\{ \; \begin{eqnarray}5a +b &=& 0 \\ 20a + b &=& 90 \end{eqnarray} \right.\)

mit den Lösungen \( a=6\) und \(b=-30\).

Funktionsgleichung: \(C(Y)=\large {\frac{{6 Y-30}}{{2 Y+5}}}\)

Die horizontale Asymptote hat wegen \(\frac{a}{2}=\frac{6}{2}=3\) die Gleichung \(C=3\).