Lernmodul

Binomische Formeln

1. Die binomischen Formeln kompakt

Der Ausdruck $(a+b)^2$ soll ausmultipliziert werden. Das Ergebnis dieser Rechnung wird als die erste Binomische Formel bezeichnet:

\[{{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \quad \quad (1)\]

Es gibt noch drei weitere Binomische Formeln:

\[{{(a-b)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \quad \quad (2)\]

\[(a+b)(a-b)={{a}^{2}}-{{b}^{2}} \quad \quad (3)\]

\[(a-b)(a+b)={{a}^{2}}-{{b}^{2}} \quad \quad (4) \]

Beispiele

\[{{(x+3)}^{2}}={{x}^{2}}+6x+9\]

\[{{(4x-y)}^{2}}=16{{x}^{2}}-8xy+{{y}^{2}}\]

\[(2z+5)(2z-5)=4{{z}^{2}}-25\]

Natürlich könnte man diese Beispiele auch durch Ausmultiplizieren lösen; da solche Terme aber sehr häufig auftreten, ist die Kenntnis dieser Formeln nützlich und zeitsparend.

2. Herleitung

Der Ausdruck $(a+b)^2$ kann folgendermassen ausmultipliziert werden:

\[{{(a+b)}^{2}}=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\]

Zwei Bemerkungen:

• Das Ausmultiplizieren von einem Produkt zweier Summen wird ausführlich im Kapitel "Multiplikation, Ausmultiplizieren" diskutiert.

• Ein häufiger Fehler besteht darin, dass der Term 2ab (den man auch als den "gemischten Term" bezeichnet), vergessen wird.

Dass $(a+b)^2$ nicht dasselbe sein kann wie $a^2+b^2$ lässt sich auch noch auf andere Arten einsehen:

Zahlenbeispiel

Grafisches Beispiel

Analog erhält man durch Ausmultiplizieren:

\[{{(a-b)}^{2}}=(a-b)(a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\]

\[(a+b)(a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\]

3. Verallgemeinerung

Der Term $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$ ist eigentlich ein Spezialfall von $(a+b)(c+d)$. Im obigen Spezialfall entspricht $a=c$ und $b=d$. Dies muss allerdings nicht immer gelten. Als nächstes leiten wir ab, wie der allgemeinere Term $(a+b)(c+d)$ richtig ausmultipliziert wird:

\[(a+b)(c+d)=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b\cdot d \quad \quad (1')\]

Binome können auch ausmultipliziert werden, wenn Werte subtrahiert werden innerhalb eines Binoms. Die restlichen drei Formeln sind die Folgenden:

\[(a+b)(c-d)=a\cdot c-a\cdot d+b\cdot c-b\cdot d \quad \quad (2')\]

\[(a-b)(c+d)=a\cdot c+a\cdot d-b\cdot c-b\cdot d \quad \quad (3')\]

\[(a-b)(c-d)=a\cdot c-a\cdot d-b\cdot c+b\cdot d \quad \quad (4')\]

1)

Multiplizieren Sie die folgenden Terme aus, indem Sie die binomischen Formeln (1-4) anwenden:

a)

$(3+x)^2$

b)

$(8a-2b)^2$

c)