MAT01 Mathematische Grundlagen

Berechnen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(2/f(2)).

a) \(f(x)=2.5x^2\)

b) \(f(x)=-2x^3+x^2-5x+9\)

Auf dieser Seite wird die Aufgabe b) ausführlich diskutiert und gelöst mit Theoriebezug (Querverweise auf Skript und externe Links). Die Aufgabe a) funktioniert analog.

Problem einordnen

Die Funktion \(f(x)=-2x^3+x^2-5x+9\) ist gegeben. Man soll nun in einen bestimmten Punkt auf der Funktion, nämlich im Punkt P(2/f(2)), die Steigung der Tangente berechnen. Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir wissen,

(i) was eine Tangente ist. (Die Theorie hierzu finden sie im Skript Block II LS 1 Seite 3 unten.)

(ii) was die Steigung der Tangente ist. (Die Theorie hierzu finden sie im Skript Block II LS 1 Seite 3 unten.) Applet

(iii) wie man die Steigung der Tangente einer Funktion f(x), also f'(x), mathematisch berechnet. (Die Theorie hierzu finden sie im Skript Block II LS 2.)

(iv) wie man die Steigung der Tangente einer Funktion f(x), also die Ableitung f'(x), graphisch darstellt? (Übungen hierzu finden sie im Skript Block II LS 1 Seite 9-10.) Ableitungspuzzle 1, Ableitungspuzzle 2, Ableitungspuzzle 3, Applet (Trace drücken)

Skizzieren der Funktion

Wenn die obigen Punkte klar sind, dann lohnt es sich die Funktion \(f(x)=-2x^3+x^2-5x+9\) zu skizzieren, um sich graphisch vorstellen zu können, was genau gesucht ist. Skizzieren Sie also die Funktion für z.B. 0 < x < 3 (da die Tangente an der Stelle x=2 gesucht ist).

Die Skizze von f(x) und der Tangente im Punkt P(2 , f(2)) finden Sie hier.

Weitere Möglichkeiten zum Skizzieren von Graphen finden Sie hier.

Die Frage ist nun, was die Steigung dieser Tangente ist. Der Zahlenwert wird später berechnet werden; er wird -25 sein. In der Grafik sehen sie die inhaltliche Interpretation dieses Wertes: Wenn x im Punkt P(2 , -13) um 1 Einheit erhöht wird, dann nimmt y um 25 ab und man landet wieder auf der Tangente.

Formaler Lösungsweg

Bisher haben wir graphisch gearbeitet, um besser zu verstehen, was genau gerechnet werden sollte. Wie wird aber der genannte Wert -25 berechnet? Dieser Wert lässt sich bestimmen, indem wir die Ableitungsfunktion von f(x), also f'(x), heranziehen, die Auskunft gibt über die Steigung der Tangente von f(x) generell und dann speziell auch für die gefragte Stelle x=2. Aus \(f(x)=-2x^3+x^2-5x+9\) folgt \(f'(x)=-6x^2+2x-5\). f'(x) gibt uns die Steigung der Tangente der Funktion f(x) für alle beliebigen Werte von x an. Wenn wir x=2 in die Ableitungsfunktion einsetzen, dann erhalten wir die Steigung der Tangente an f(x) im Punkt P(2 , f(2)): \(f'(2)=-6 \cdot 2^2+2 \cdot 2-5=-25\). Das heisst, die Steigung der Tangente von f(x) im Punkt P(2 , f(2)) ist -25 (Was ist der Unterschied zu Serie 3 Aufgabe 4?).

Bemerkung: Gemäss der Berechnung ist es nicht notwendig, die y-Koordinate des Punktes auf der Funktion zu wissen. Es ist nur notwendig, die Stelle für x zu kennen, also die x-Koordinate, die in die Ableitungsfunktion eingesetzt wird. Grund: f'(x) ist ja nur von x abhängig.

Graphisch kann die Herleitung des obigen Resultats auch folgendermassen dargestellt werden: Wir berechneten aus f(x) die Ableitungsfunktion f'(x). Die Ableitungsfunktion \(f'(x)=-6x^2+2x-5\) sieht so aus. Wenn nun die Stelle x=2 eingesetzt wird in f'(x), dann erhalten wir den Wert f'(2) = -25. Die Steigung der Tangente der Funktion f(x) im Punkt P(2 , f(2)) ist folglich -25.

Aufgabe a)

\(f(x)=2.5x^2\)

\(f'(x)=5x\)

\(f'(2)=5 \cdot 2=10\)

Die Steigung der Tangente der Funktion \(f(x)=2.5x^2\) im Punkt P(2 , f(2)) ist 10.

Aufgabe b)

\(f(x)=-2x^3+x^2-5x+9\)

\(f'(x)=-6x^2+2x-5\)

\(f'(2)=-6 \cdot 2^2+2 \cdot 2-5=-25\)

Die Steigung der Tangente der Funktion \(f(x)=-2x^3+x^2-5x+9\) im Punkt P(2 , f(2)) ist -25.