Lernmodul

Weshalb will man Terme als Produkte schreiben?

Unter dem Faktorisieren eines Terms versteht man eine Umformung, die aus ihm ein Produkt von zwei oder mehreren Faktoren macht.

Wozu soll das gut sein? Produktstrukturen sind wichtig, wenn man

Brüche kürzen
Gleichungen lösen möchte.

Nachfolgend je ein Beispiel dazu. Die einzelnen Schritte der Lösung werden hier nicht weiter kommentiert, sondern später in diesem Themenblock genauer behandelt.

Beispiel 1

Kürzen Sie den Bruch
\( \large \frac{{{a^2} - 2a}}{{{a^2} - a - 2}}\)

Lösung durch Faktorisieren des Zählers und des Nenners:
\( \large \frac{{{a^2} - 2a}}{{{a^2} - a - 2}} = \frac{{a \cdot (a - 2)}}{{(a + 1) \cdot (a - 2)}} = \frac{a}{{(a + 1)}}\)

Näheres dazu auf der Themenseite Division, Bruchterme.

Beispiel 2

Lösen Sie die Gleichung

\( 2{x^3} - 4{x^2} + 2x = 0\)

Lösung durch sukzessives Faktorisieren des Terms auf der linken Seite:

\( 2x \cdot ({x^2} - 2x + 1) = 0\)

\(2x \cdot {(x - 1)^2} = 0\)

Das Produkt kann nur Null werden, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. Also besitzt die Gleichung zwei Lösungen:

\({x_1} = 0 \qquad {x_2} = 1\)

Näheres dazu unter Gleichungen - Einführung.

Es gibt - je nach Struktur des zu verwandelnden Terms - verschiedene Methoden, um eine Produktstruktur zu erreichen. Mindestens die folgenden beiden sollten Sie "im Repertoire" haben.

Methode 1: Ausklammern eines Faktors

Ein Faktor, der in allen Summanden vorkommt, kann vor die Klammer gezogen, d.h. "ausgeklammert" werden.

Beispiel 1

\(2a + 6 = 2 \cdot (a + 3)\)

Ausklammern des gemeinsamen Faktors 2

Beispiel 2

\(6{x^2} - 15xy = 3x \cdot (2x - 5y)\)

Ausklammern der Faktoren 3 und x

Beispiel 3

\(2pq + q = q \cdot (2p + 1)\)

Ausklammern des Faktors q
Die 1 in der Klammer "reproduziert" den 2. Summanden!

Regeltechnisch gesprochen handelt es sich beim Ausklammern um eine Anwendung des Distributivgesetzes:

\(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)

Es wird dabei sozusagen "von rechts nach links" verwendet.

Bemerkungen zur Schreibweise:

Die Verwendung des Multiplikationspunktes · ist nicht zwingend.
Der ausgeklammerte Faktor kann auch rechts statt links der Klammer platziert werden (Kommutativgesetz der Multiplikation):

Beispiel 4

\({h^2} - 2h = h(h - 2)\)

Beispiel 5

\(4xy + 10y = (2x + 5) \cdot 2y\)

Der ursprüngliche Term kann auch mehr als zwei Summanden enthalten:

Beispiel 6

\(15{b^2} - 10ab + 20b = 5b\left( {3b - 2a + 4} \right)\)

Der ausgeklammerte Ausdruck muss nicht zwingend eine Variable sein; es lassen sich z.B. auch ganze Klammerausdrücke ausklammern:

Beispiel 7

\(7a \cdot (x - 2) + 3b \cdot (x - 2) = (x - 2) \cdot (7a + 3b)\)

Manchmal kann man erst durch mehrmaliges Ausklammern eine vollständige Faktorisierung erreichen:

Beispiel 8

\(10ax - 15ay + 8bx - 12by = 5a(2x - 3y) + 4b(2x - 3y) = (5a + 4b)(2x - 3y)\)

Nach Ausklammern von 5a in den vorderen und von 4b in den hinteren beiden Faktoren enthalten beide Summenterme den Klammerfaktor (2x - 3y), der vor eine neue Klammer gesetzt werden kann.

Natürlich wäre es auch möglich, im 1./3. Glied das x und im 2./4. das y auszuklammern, mit gleichem Endergebnis.

Bemerkung:

Um allfälligen Missverständnissen vorzubeugen: Nicht jeder Summenterm lässt sich faktorisieren. Schon eine leichte Veränderung bei einzelnen Zahlen oder Variablen in den obigen Beispielen könnte deren Faktorisierung unmöglich machen.

Methode 2: Faktorisierung von quadratischen Ausdrücken

Beispiel 1

Ein Summenterm wie

\({x^2} - 6x + 9\)

lässt sich bestimmt nicht durch das oben beschriebene Ausklammern faktorisieren, weil kein Faktor allen drei Summanden gemeinsam ist.

Gleichwohl lässt sich dieser Term faktorisieren, weil es sich hierbei offenbar um die "rechte Seite" der 2. binomischen Formel handelt:

\({(x - 3)^2} = {x^2} - 6x + 9\), somit \({x^2} - 6x + 9 = (x - 3) \cdot (x - 3)\)

Eine Anwendung der binomischen Formeln zur Faktorisierung steckt auch in den folgenden zwei Beispielen:

Beispiel 2

\(4{a^2} + 4ab + {b^2} = {(2a + b)^2}\)

gemäss \({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

Beispiel 3

\({x^2} - 25 = (x + 5)(x - 5)\)

gemäss \((a + b)(a - b) = {a^2} - {b^2}\)

Beachten Sie: Um die binomischen Formeln anwenden zu können, müssen in zwei der Summanden Quadratzahlen stecken (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,...).
Zum Vorgehen: Ziehen Sie zuerst die Wurzeln aus den quadratischen Termen und kontrollieren Sie dann "rückwärts" durch Ausrechnen, ob sich der richtige gemischte Term ergibt!

Auch wenn keine Quadratzahlen vorhanden sind, kann man einen quadratischen Ausdruck manchmal in zwei binomiale Faktoren zerlegen ("Klammer mal Klammer"):

Beispiel 4

\({a^2} + 4a - 12 = (a + 6)(a - 2)\)

Beispiel 5

\(3{w^2} + w - 2 = (w + 1)(3w - 2)\)

Auch wenn eine solche Zerlegung wirklich existiert - was nicht der Fall sein muss -, ist es recht schwierig, sie durch "Ausprobieren" zu finden. Wenn (wie im Beispiel 4) der quadratische Summand den Koeffizient 1 hat (\(1 \cdot {a^2} \)), gibt es allerdings eine Regel, welche etwas weiterhilft:

Die beiden Zahlen in den Klammern müssen addiert immer die Zahl des 2. Gliedes und multipliziert die Zahl des 3. Gliedes (Absolutglied) ergeben.

Im Beispiel 5 etwa: Summe \(6 + ( - 2) = 4\), Produkt \(6 \cdot ( - 2) = - 12\)

Tipp: Beginnen Sie mit den möglichen Zahlenpaaren für das Produkt und testen Sie diese systematisch daraufhin durch, ob auch die additive Eigenschaft erfüllt ist!

Zwei weitere Beispiele:

Beispiel 6

\({m^2} - 3m + 2 = (m - 1)(m - 2)\)

denn: \(( - 1) + ( - 2) = - 3\), \(( - 1) \cdot ( - 2) = + 2\)

Beispiel 7

\({a^2} + 2ab - 15{b^2} = (a + 5b)(a - 3b)\)

denn: \(5 + ( - 3) = 2\), \(5 \cdot ( - 3) = - 15\)

Kombination der beiden Methoden ist möglich

Die beiden besprochenen Methoden zur Faktorisierung können auch kombiniert werden; es empfiehlt sich dabei generell, bei quadratischen Ausdrücken zuerst soweit als möglich gemeinsame Faktoren auszuklammern und erst dann die Zerlegung in Binome zu versuchen.

Beispiel 1

\(7{u^2} - 28{v^2} = 7({u^2} - 4{v^2}) = 7(u + 2v)(u - 2v)\)

Beispiel 2

\(12{x^3} + 60{x^2} + 48x = 12x({x^2} + 5x + 4) = 12x(x + 1)(x + 4)\)

1)

Klammern Sie soviel als möglich aus:

a)

\(3x + 3y\)

b)

\(8{t^2} - 4t\)

c)

\(15ab + 5ac - 25ad\)