- Aufgabenstellung
- Kommentierte Lösung
- Kurzversion Lösung
a) In welchen Punkten des Graphen von \(f(x)=2x^3-3x^2-10x+4\) ist die Steigung der Tangente genau 2?
b) In welchen Punkten des Graphen von \(f(x)=x^3+3x^2-7.5x-4.5\) ist die Tangente parallel zur Geraden g mit der Gleichung \(y = 1.5x\)?
Problem einordnen
Die Funktion \(f(x)=2x^3-3x^2-10x+4\) ist gegeben. In Aufgabe 3 war ein Punkt auf der Funktion gegeben und man sollte dann die Steigung der Tangente in jenem Punkt berechnen. In der Aufgabe 4a) wird nun gerade anders herum gefragt: Gibt es Punkte auf der angegebenen Funktion, bei denen die Tangente die Steigung 2 hat? Grundsätzlich ist es möglich, dass die Funktion keine solchen Punkte hat. Würde nämlich die Funktion g(x)=5 lauten, dann hätte die Funktion in jedem Punkt eine Tangente mit der Steigung 0. Die Funktion h(x)=1.5x hat auch keinen Punkt, bei dem die Steigung der Tangente 2 ist, da für alle Punkte auf dieser Funktion gilt, dass die Steigung der Tangente 1.5 ist. Die Funktion in Aufgabe 4a) allerdings ist eine Polynomfunktion 3. Grades. Wir können deshalb davon ausgehen, dass die Funktion keine konstante Steigung hat. Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir wissen,
(i) was eine Tangente ist. (Die Theorie hierzu finden sie im Skript Block II LS 1 Seite 3 unten.) (ii) was die Steigung der Tangente ist. (Die Theorie hierzu finden sie im Skript Block II LS 1 Seite 3 unten.) Applet (iii) wie man die Steigung der Tangente einer Funktion f(x), also f'(x), mathematisch berechnet. (Die Theorie hierzu finden sie im Skript Block II LS 2.) (iv) wie man die Steigung der Tangente einer Funktion f(x), also f'(x), graphisch darstellt? (Übungen hierzu finden sie im Skript Block II LS 1 Seite 9-10.) Ableitungspuzzle 1, Ableitungspuzzle 2, Ableitungspuzzle 3, Applet (Trace drücken)Skizze
Es lohnt sich, die Funktion \(f(x)=2x^3-3x^2-10x+4\) von der Aufgabe a) zu skizzieren, um sich graphisch vorstellen zu können, was genau gesucht ist.Die Skizze von f(x) und den Tangenten mit Steigung 2 finden Sie hier. Die Skizze zeigt, dass die Funktion f ungefähr bei x=-1 und bi x=2 eine Steigung von 2 hat (Achtung: Beachten sie hierbei, dass die x-Achse und y-Achse unterschiedlich skaliert sind). Allerdings müssen wir formal die exakten Werte auf der x-Achse noch genau berechnen.
Weitere Möglichkeiten zum Skizzieren von Graphen finden Sie hier.
Gemäss der Skizze wird nun klar, dass die Funktion f(x) in zwei Punkten eine Tangete mit Steigung 2 hat. Als nächstes schauen wir uns an, wie wir die zwei Punkte formal berechnen können. Die Grafik können wir im Hinterkopf behalten, wäre aber für den formalen Lösungswelt per se nicht nötig (aber für die Intuition ist sie natürlich wichtig).Formaler Lösungsweg
Wir können die Punkte, bei welcher die Funktion f(x) eine Tangete mit Steigung 2 hat, berechnen, indem wir(i) zuerst die beiden Stellen auf der x-Achse finden mit Hilfe der Ableitungsfunktion und (ii) danach die entsprechenden Werte auf der y-Achse berechnen, indem wir die x-Stellen in die Funktion \(f(x)=2x^3-3x^2-10x+4\) eingeben.
(i) Die Ableitungsfunktion f'(x) gibt die Steigung der Tangente der Funktion f(x) für beliebige Stellen x (auf der x-Achse) an. Wir berechnen also \(f'(x)=6x^2-6x-10\). Bei welchem x nimmt nun die Ableitungsfunktion f'(x) den Wert 2 an? Mathematisch ausgedrückt: Bei welchem x ist \(f'(x)=2\), also \(6x^2-6x-10=2\)? Die mathematische Antwort finden wir, indem wir die Gleichung \(6x^2-6x-10=2\) nach x auflösen (Was ist der Unterschied zu Serie 3 Aufgabe 3?). Hier muss man erkennen, dass wir eine quadratische Gleichung erhalten, die wir dann mit dem Taschenrechner Programm Quadgl (oder von Hand) lösen können:\(6x^2-6x-12=0\)
\( \Rightarrow \quad {x_1=2} \quad {x_2}=-1\)
Wir haben somit die Stellen gefunden, bei welchem die Funktion f(x) die Steigung 2 hat. Es wird aber nicht nach der Stelle gefragt, sondern nach den Punkten auf der Funktion. Wir brauchen also noch die entsprechenden Werte auf der y-Achse.
(ii) Wir erhalten die Werte auf der y-Achse, indem wir die Stellen \({x_1=2}\) und \({x_2}=-1\) in f(x) eingeben.
\({y_1}=f(2)=2 \cdot 2^3-3 \cdot 2^2-10 \cdot 2+4=-12\)
\({y_2}=f(-1)=2 \cdot (-1)^3-3 \cdot (-1)^2-10 \cdot (-1)+4=9\)
Daraus folgt: In den Punkten \({P_1}( 2 / -12 )\) und \({P_2}( -1 / 9 )\) hat die Tangente an den Graphen von f die Steigung 2.
Wir können den Zusammenhang zwischen Ableitungsfunktion f' und der Funktion f auch in dieser Grafik sehen. Im oberen Teil ist die Funktion f, während im unteren Teil die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) abgebildet ist. Die Ableitungsfunktion nimmt ungefähr bei x=-1 und bei x=2 den Wert 2 an. Also sagt die Ableitungsfunktion etwas über die Steigung der Tangente der Funktion f aus.
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Aufgabe a)
Aufgabe b)\(f(x)=2x^3-3x^2-10 \cdot x+4\)
\(f'(x)=6x^2-6x-10=2\)
\(6x^2-6x-12=0\)
\( \Rightarrow \quad {x_1}=2 \quad {x_2}=-1\)
\({y_1}=f(2)=2 \cdot 2^3-3 \cdot 2^2-10 \cdot 2+4=-12\)
\({y_2}=f(-1)=2 \cdot (-1)^3-3 \cdot (-1)^2-10 \cdot (-1)+4=9\)
In den Punkten \({P_1}( 2 / -12 )\) und \({P_2}( -1 / 9 )\) hat die Tangente an den Graphen die Steigung 2.
\(f(x)=x^3+3x^2-7.5x-4.5\)
\(f'(x)=3x^2+6x-7.5\) ist die Tangentensteigung
\(y(x) = 1.5x\)
\(y'(x) = 1.5\) ist die Geradensteigung
Tangentensteigung = Geradensteigung: \(3x^2+6x-7.5=1.5\)
\(3x^2+6x-9=0\)
\( \Rightarrow \quad {x_1}=1 \quad {x_2}=-3\)
\({y_1}=f(1)=-8\), \({y_2}=f(-3)=18\)
In den Punkten \({P_1}(1/-8)\) und \({P_2}(-3/18)\) ist die Tangente an den Graphen parallel zur Geraden \(y = 1.5x\).