MAT01 Mathematische Grundlagen

Für einen Haushalt sind die monatlichen Ausgaben A(Y) für Energie (in GE/Monat) in Abhängigkeit vom Haushaltseinkommen Y (in GE/Monat) gegeben durch die Funktionsgleichung

\(A(Y) = 80 \cdot \ln (Y + 100) - 500 \quad \quad Y \ge 1000\)

a) Wie lautet die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion Y(A)?

b) Die monatlichen Energieausgaben betragen 250 GE. Welches Haushaltseinkommen wird realisiert?

c) Bei welchem Haushaltseinkommen werden 3% des Einkommens für Energie ausgegeben? (mit Solver berechnen)

d) Berechnen Sie das Differential dA bei einem Haushaltseinkommen von 4'000 GE und einer Einkommenszunahme von dY=100 GE. Wie ist der Wert von dA zu interpretieren?

Problem einordnen

In dieser Aufgabe benötigen Sie Kenntnisse und Methoden aus zwei verschiedenen Bereichen:

• In den Teilaufgaben a) und b) soll eine Umkehrfunktion ermittelt werden. Die Theorie dazu finden Sie im Skript MAT01, Block I, LS 3.
• In Teilaufgabe d) geht es um die Berechnung und Interpretation von Differentialen. Diese werden im Skript MAT01, Block III, LS 1 auf den Seiten 2-4 eingeführt.

In Aufgabe c) geht es zudem um prozentuale Angaben (vgl. dazu wenn nötig die entsprechenden Grundlagen zum Thema Prozentrechnen im Tutorial BM Grundlagen).

a) Umkehrfunktion

Um die Umkehrfunktion Y(A) der gegebenen Funktion A(Y) zu bestimmen, muss man die Funktionsgleichung

\(A(Y) = 80 \cdot \ln (Y + 100) - 500\)

nach der Variablen Y auflösen.

Hinweis: Es ist zum Rechnen einfacher und übersichtlicher, in der Funktionsgleichung die Abhängigkeiten der Variablen wegzulassen, d.h. besser nur A hinzuschreiben an Stelle von A(Y).

\(A = 80 \cdot \ln (Y + 100) - 500\)

In der Gleichung steht der (natürliche) Logarithmus ln; seine Umkehrfunktion ist bekanntlich die Exponentialfunktion.

Um die entsprechende Umkehrung

\(x = {\log _a}(b) \Leftrightarrow {a^x} = b \quad \) (=Definition des Logarithmus!)

anwenden zu können, müssen wir die obige Gleichung aber zunächst noch in die geeignete Form bringen:

\(A+500 = 80 \cdot \ln (Y + 100) \)

\(\frac{{A + 500}}{{80}} = \ln (Y + 100)\)

Vergleichen Sie nun die beiden rechten Seiten: welche Ausdrücke spielen in unserem konkreten Fall die Rolle der Variablen a, b und x aus der Definition?

Überlegen Sie selber zuerst, bevor Sie hier die Antwort anklicken!

Nun kann man also schreiben

\({e^{\frac{{A + 500}}{{80}}}} = Y + 100\),

und nach Subtraktion von 100 und Umstellung der Seiten:

\(Y = {e^{\frac{{A + 500}}{{80}}}} - 100 \)

Wenn man den Funktionscharakter dieser Gleichung betonen will, kann man nun wieder die Abhängigkeit deutlicher sichtbar machen (ist jedoch nicht zwingend):

\(Y(A) = {e^{\frac{{A + 500}}{{80}}}} - 100 \)

b) Haushalteinkommen bei A = 250 GE

Die in a) gefundene Umkehrfunktion erlaubt es nun allgemein, bei gegebenen Energieausgaben A das zugehörige Haushalteinkommen Y zu berechnen. Man muss also in unseren konkreten Fall nur A=250 in obige Gleichung einsetzen:

\(Y(250) = {e^{\frac{{750}}{{80}}}} - 100 = 11'689.90\,GE\)

Bemerkung:

Wäre Teilaufgabe a) nicht gestellt worden, könnte man die Frage b) wohl einfacher beantworten, wenn man A=250 direkt in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzt

\(250 = 80 \cdot \ln (Y + 100) - 500\)

und danach direkt auflöst (die dabei verwendete Technik wäre aber die Gleiche).

c) Energieausgaben sollen 3% betragen

Hier gibt es zwei mögliche Lösungsansätze. Der erste greift zurück auf das Konzept der linearen Funktion (siehe dazu auch BM Grundlagen, Kapitel Funktionen).

Ansatz 1:

Der Ausdruck "Anteil von A an Y beträgt 3%" lässt sich übersetzen zu

\(\frac{A}{Y} = \frac{3}{{100}} = 0.03\)

Setzt man für A nun die gegebene Funktionsgleichung ein, so ergibt sich die Gleichung:

\(\frac{80 \cdot \ln (Y + 100) - 500}{Y} = 0.03\).

Ansatz 2:

Die Energieausgaben eines Haushalts, der 3% seines Einkommens Y für Energie ausgibt, können durch eine lineare Funktion beschrieben werden:

\(A(Y) = 0.03Y\)

(Beachten Sie wiederum, dass \( \; 3\; Prozent \; von \; Y = \frac{3}{{100}}\;von\;Y = 0.03 \cdot Y \; \).)

Andererseits muss aber nach wie vor gelten:

\(A(Y) = 80 \cdot \ln (Y + 100) - 500\)

Somit können die beiden rechten Seiten gleichgesetzt werden:

\(80 \cdot \ln (Y + 100) - 500 = 0.03Y\)

Grafik für die beiden Funktionsgraphen.

Lösung der Gleichung:

Beachten Sie, dass die Gleichungen für beide Ansätze äquivalent sind (d.h. die gleiche Lösungsmenbge aufweisen); die Gleichung aus Ansatz 1 kann durch Multiplikation mit Y in 2 überführt werden.

Für die Auflösung müssen numerische Methoden eingesetzt werden; weil sowohl die Variable als auch ihr Logarithmus in der Gleichung vorkommen, ist eine symbolische Lösung nicht denkbar.

Der Solver des TR liefert Y = 6'969.43 GE

Allerdings kann es sein, dass Sie - je nach gewähltem Startwert - auch die (zweite) Lösung Y = 532.5 GE erhalten haben. Diese ist in der Grafik aus Ansatz 2 als zweiter Schnittpunkt sichtbar.

Aber: dieser Wert liegt nicht im Definitionsbereich der Funktion (in der Aufgabenstellung wurde Y ≥ 1000 vorausgesetzt). Er kommt deshalb als zulässige Lösung nicht in Betracht.

d) Berechnung des Differentials

Zunächst sollten Sie sich nochmals die inhaltliche Bedeutung eines Differentials klar machen.

Im konkret vorliegenden Fall geht es um die Frage, wie sich eine Veränderung des Haushaltseinkommens Y (unabhängige Grösse, Input) auf die Energieausgaben A (abhängige Grösse, Output) auswirkt.

Als "Übersetzungsfaktor" wirkt die Ableitung beim aktuellen Haushaltseinkommen Y = 4'000; wir müssen also als Erstes die Ableitung berechnen und an dieser Stelle auswerten:

\(A'(Y) = \frac{{dA}}{{dY}} = \frac{{80}}{{Y + 100}}\)

\(A'(4000) = \frac{{80}}{{4100}} \approx 0.0195\)

Mittels dieses Wertes lässt sich dann das gesuchte Differential dA berechnen:

\(dA = 0.0195 \cdot dY\)

Bei einer Einkommenszunahme von dY = 100 GE resultiert also eine Zunahme der Energieausgaben um

\(dA = 0.0195 \cdot 100 = 1.95 \; GE\)

a) Umkehrfunktion

Löse die Funktionsgleichung nach A auf:

\(A = 80 \cdot \ln (Y + 100) - 500\)

\(A+500 = 80 \cdot \ln (Y + 100) \)

\(\frac{{A + 500}}{{80}} = \ln (Y + 100)\)

\({e^{\frac{{A + 500}}{{80}}}} = Y + 100\),

\(Y(A) = {e^{\frac{{A + 500}}{{80}}}} - 100 \)

b) Haushalteinkommen bei A = 250 GE

Setze A=250 in obige Gleichung ein:

\(Y(250) = {e^{\frac{{750}}{{80}}}} - 100 = 11'689.90\,GE\)

c) Energieausgaben sollen 3% betragen

\(\frac{A}{Y} = \frac{3}{{100}} = 0.03\)

\(A(Y) = 0.03Y\)

\(80 \cdot \ln (Y + 100) - 500 = 0.03Y\)

Der Solver des TR liefert Y = 6'969.43 GE.

(Die zweite Lösung Y = 532.5 GE liegt nicht im Definitionsbereich, ist also ungültig.)

d) Berechnung des Differentials

\(A'(Y) = \frac{{dA}}{{dY}} = \frac{{80}}{{Y + 100}}\)

An der Stelle Y=4000:

\(A'(4000) = \frac{{80}}{{4100}} \approx 0.0195\)

Damit lässt sich das gesuchte Differential dA berechnen:

\(dA = 0.0195 \cdot dY = 0.0195 \cdot 100 = 1.95 \; GE\)

Bei einer Einkommenszunahme von dY = 100 GE resultiert also eine Zunahme der Energieausgaben um rund 1.95 GE