Lernmodul

Bestimmen Sie die Kostenfunktion

\(K(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
so, dass ihr Graph die folgenden Bedingungen erfüllt:

Die Fixkosten Test betragen 20 GE.
Die minimalen Grenzkosten betragen 0.3 GE/ME.
Die minimalen Grenzkosten werden bei einer Produktionsmenge von 40 ME realisiert.
Bei der Produktionsmenge von 40 ME betragen die Durchschnittskosten genau 2 GE/ME.

Problem einordnen:

Die Parameter a, b, c und d sind so zu bestimmen, dass die Bedingungen erfüllt sind. Es gilt also ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen mit den Parametern als Unbekannte zu formulieren.

Beim Formulieren und Lösen der Aufgabe brauchen Sie Skript und Lehrbuch. Studieren Sie zuerst die entsprechende Theorie, versuchen Sie anschliessend diese Theorie in der Aufgabe umzusetzen.

In dieser Aufgabe brauchen Sie Kenntnisse zu:

Funktionentheorie

Die Kostenfunktion ist eine Polynomfunktion 3. Grades.

Infos zu Polynomfunktionen finden Sie im Skript MAT01: Block I, LS 2, Seite 11ff.

Bemerkung:
Eine alternative Aufgabenformulierung könnte lauten: Bestimmen Sie eine Kostenfunktion als Polynomfunktion 3. Grades, so dass …
Dann wäre Ihr erster Schritt, gemäss der Theorie den Ansatz aufzuschreiben:
\(K(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 20\)

Kostenfunktion

Kosten setzen sich zusammen aus fixen und variablen Kosten (vgl. Tietze, Kapitel 2.5):

\(K = {K_f} + {K_v}\)

In der Aufgabe gilt: \({K_f}=d=20\)

Mit d = 20 ist damit die erste der vier Gleichungen formuliert.
Diese können Sie im Ansatz berücksichtigen und damit das Problem auf das Formulieren von drei Gleichungen mit drei Unbekannten vereinfachen:

\(K(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 20\)

Aus der Kostenfunktion kann die Durchschnittskostenfunktion gebildet werden (vgl. Tietze, Kapitel 2.5):

\(k(x) = \frac{{K(x)}}{x} = \frac{{a{x^3} + b{x^2} + cx + d}}{x} = a{x^2} + bx + c + \frac{d}{x}\)

Damit können Sie die vierte Bedingung als Gleichung formulieren:

\(k(40) = {40^2} \cdot a + 40 \cdot b + c + \frac{{20}}{{40}} = 2\quad \Rightarrow \quad 1600a + 40b + c + 0.5 = 2\)

Grenzkostenfunktion

Die Grenzkosten sind durch die erste Ableitung der Kosten definiert (vgl. Tietze Kap. 6.1.2.1):

\(K'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\)

Aus der Bedingungen 2 und 3 folgt:

\(K'(40) = 3 \cdot {40^2} \cdot a + 2 \cdot 40 \cdot b + c = 0.3\quad \Rightarrow \quad 4800a + 80b + c = 0.3\)
und somit die dritte Gleichung.

Differentialrechnung, relative Extrema

Die dritte Bedingung betrifft das Minimum der Grenzkosten (vgl. Tietze Kap. 6.2.2).

Wenn eine Funktion ein Minimum hat, dann ist ihre erste Ableitung gleich Null.
Die erste Ableitung der Grenzkostenfunktion entspricht der zweiten Ableitung der Kostenfunktion (Ableitung der Ableitung):

\(K''(x) = 6ax + 2b\)

Die dritte Bedingung lautet deshalb:

\(K''(40) = 6 \cdot 40 \cdot a + 2 \cdot b = 0 \quad \Rightarrow \quad 240a + 2b = 0\)

Matrizenrechnung, lineare Gleichungssysteme

Die drei Gleichungen lauten also (mit Einbezug von d = 20):

\(4800a + 80b + c = 0.3\)

\(240a + 2b = 0\)

\(1600a + 40b + c + 0.5 = 2\)

Dies entspricht einem linearen Gleichungssystem und kann deshalb in Matrizenform geschrieben werden (vgl. Skript, Block IV; LS 2):

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{4800}&{80}&1\\{240}&2&0\\{1600}&{40}&1\end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\b\\c\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{0.3}\\0\\{1.5}\end{array}} \right)\)

Das System wird gelöst mit:

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}a\\b\\c\end{array}} \right) = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{4800}&{80}&1\\{240}&2&0\\{1600}&{40}&1\end{array}} \right)^{ - 1}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{0.3}\\0\\{1.5}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{0.00075}\\{ - 0.09}\\{3.9}\end{array}} \right)\)

Damit kann die ursprünglich gestellte Frage beantwortet werden:

Die Gleichung der gesuchten Kostenfunktion lautet

\(K(x) = 0.00075{x^3} - 0.09{x^2} + 3.9x + 20\)

Grafik Kostenfunktion

Hinweis zum Schluss:
Kontrollieren Sie, ob Sie die gestellte Aufgabe oder Frage auch wirklich beantwortet haben!

Die Fixkosten sind 20, also lautet der Ansatz

\(K(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 20\)

Ableitungen:

\(K'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\)

\(K''(x) = 6ax + 2b\)

Ausserdem die Durchschnittskosten:

\(k(x) = \frac{{K(x)}}{x} = \frac{{a{x^3} + b{x^2} + cx + d}}{x} = a{x^2} + bx + c + \frac{d}{x}\)

Jetzt die Bedingungen "übersetzen":

\(K'(40) = 0.3 \; \rightarrow \; 4800a + 80b + c = 0.3\)

\(K''(40) = 0 \; \rightarrow \; 240a + 2b = 0\)

\(k(40) = 2 \; \rightarrow \; 1600a + 40b + c + 0.5 = 2\)

Alle drei Bedingungen sind linear, deshalb können wir das LGS in Matrizenform schreiben (die dritte Gleichung ist dabei zunächst noch in Normalform zu bringen!):