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Logarithmen
1. Definition des LogarithmusEinführungsbeispiel
Wie lange muss ein Kapital von 1000.- bei 5% angelegt werden, damit es auf 1980.- anwächst?
$1000\cdot {{1.05}^{n}}\,\,=\,\,1980 \quad \Leftrightarrow \quad {{1.05}^{n}}\,\,=\,\,1.980$
Gesucht ist also der Exponent von 1.980 zur Basis 1.05, oder der Logarithmus von 1.980 zur Basis 1.05.
n = Logarithmus von 1.980 zur Basis 1.05, abgekürzt $n\,\,=\,\,{{\log }_{1.05}}1.980$
Beispiele
${{\log }_{2}}8\,\,=\,\,3,\quad denn \quad {{2}^{3}}=8 \quad \quad \quad {{\log }_{3}}81\,\,=\,\,4,\quad denn \quad {{3}^{4}}=81$
${{\log }_{10}}1000\,\,=\,\,3,\,\,\, \quad denn \quad {{10}^{3}}=1000 \quad \quad \quad {{\log }_{1.03}}1.0609\,\,=\,\,2, \quad denn \quad {{1.03}^{2}}=1.0609$
${{\log }_{a}}1\,\,=\,\,0 \quad denn \quad {{a}^{0}}\,\,=\,\,1$
2. Rechengesetze für Logarithmen
Einführungsbeispiele
Statt $8\cdot 16\,\,=\,\,128 $ , schreiben wir ${{2}^{3}}\cdot {{2}^{4}}\,\,=\,\,{{2}^{3+4}}\,\,\,=\,\,{{2}^{7}}$
Der Exponent, also der Logarithmus des Produktes ist die Summe der Exponenten, der Logarithmen der Faktoren.
Statt $64\,\,\div \,\,4\,\,=\,\,16 $ , schreiben wir ${{2}^{6}}\,\,\div \,\,{{2}^{2}}\,\,=\,\,{{2}^{6-2}}\,\,=\,\,{{2}^{4}}$
Der Exponent, also der Logarithmus des Quotienten ist die Differenz der Exponenten, der Logarithmen zwischen Zähler und Nenner.
Statt ${{32}^{4}}\,\,=\,\,1'048'576 $ , schreiben wir ${{\left( {{2}^{5}} \right)}^{4}}\,\,=\,\,{{2}^{5\cdot 4}}\,\,=\,\,{{2}^{20}}$
Das Beispiel illustriert die drei Logarithmusgesetze:
$1. \quad {{\log }_{a}}u\cdot v\,\,=\,\,{{\log }_{a}}u\,\,+\,\,{{\log }_{a}}v$
$2. \quad {{\log }_{a}}\frac{u}{v}\,\,=\,\,{{\log }_{a}}u\,\,-\,\,{{\log }_{a}}v$
$3. \quad {{\log }_{a}}{{u}^{k}}\,\,=\,\,k\cdot {{\log }_{a}}u$
Beispiele
$1. \quad {{\log }_{2}}(32\cdot 64)\,\,=\,\,{{\log }_{2}}32\,\,+\,\,{{\log }_{2}}64\,\,=\,\,5+6\,\,=\,\,11$
$2. \quad {{\log }_{3}}({{9}^{4}})\,\,=\,\,4\cdot {{\log }_{3}}9\,\,=\,\,4\cdot 2\,\,=\,\,8$
$3. \quad {{\log }_{10}}(\frac{100}{1'000'000})\,\,=\,\,{{\log }_{10}}100\,\,-\,\,{{\log }_{10}}1'000'000\,\,=\,\,2-6=-4$
$4. \quad {{\log }_{2}}(\frac{1}{16})\,\,=\,\,{{\log }_{2}}1\,\,-\,\,{{\log }_{2}}16\,\,=\,\,0-4\,\,=\,\,-4$
3. Zehner und natürlicher Logarithmus
In diesem Abschnitt betrachten wir Logarithmen zu speziellen Basen. Aus historischen Gründen spielt die Basis 10 eine wichtige Rolle. Die Basis e (Euler'sche Zahl) für die Finanzmarkttheorie und die Basis 2 für die Informatik spielen aus inhaltlichen Gründen eine spezielle Rolle.
Elektronische Rechenhilfsmittel berechnen mindestens einen dieser drei Logarithmen.
Ein Logarithmus zu einer beliebigen Basis lässt sich immer auf einen dieser speziellen Logarithmen umformen und somit berechnen.
${{\log }_{10}}y\,\,=\,\,\log y\,\,=\,\,\lg y\,\,\,\text{(Zehnerlogarithmus)}$
${{\log }_{e}}y\,\,=\,\,\ln y\,\,\,\text{(Logarithmus}\,\,\text{naturalis)}$
${{\log }_{2}}y\,\,=\,\,lb\,y\,\,\,\,\,\text{(Bin }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ rer Logarithmus)}$
Beispiele
$\log 100\,\,=\,\,2 \quad \quad \log 0.001\,\,=\,\,-3$
$\log 2\,\,=\,\,0.301.. \quad \quad \log 4\,\,=\,\,0.602..$
Die Euler'sche Zahl und der natürliche Logarithmus
Betrachten wir folgende Problemstellung: 1 Fr. wird ein Jahr zu 100% = 1 verzinst. Wir berechnen den Wert nach einem Jahr bei unterschiedlichen Zinsperioden.
| Zinsperiode | Wert nach einem Jahr |
| 1 Jahr | ${{K}_{1}}\,\,=\,\,(1+1)\,\,=\,\,2$ |
| $\frac{1}{2}$ Jahr | ${{K}_{1}}\,\,=\,\,{{\left( 1+\frac{1}{2} \right)}^{2}}\,\,=\,\,{{1.5}^{2}}\,\,=\,\,2.25$ |
| $\frac{1}{4}$ Jahr | ${{K}_{1}}\,\,=\,\,{{\left( 1+\frac{1}{4} \right)}^{4}}\,\,=\,\,{{1.25}^{4}}\,\,=\,\,2.44$ |
| $\frac{1}{10}$ Jahr | ${{K}_{1}}\,\,=\,\,{{\left( 1+\frac{1}{10} \right)}^{10}}\,\,=\,\,{{1.1}^{10}}\,\,=\,\,2.59$ |
| $\frac{1}{100}$ Jahr | ${{K}_{1}}\,\,=\,\,{{\left( 1+\frac{1}{100} \right)}^{100}}\,\,=\,\,{{1.01}^{100}}\,\,=\,\,2.70$ |
| $\frac{1}{1\,Mio.}$ Jahr | ${{K}_{1}}\,\,=\,\,{{\left( 1+\frac{1}{100} \right)}^{100}}\,\,=\,\,{{1.01}^{100}}\,\,=\,\,2.70$ |
Wird die Zahl der Zinsperioden vergrössert, wird die einzelne Zinsperiode kürzer. Man nähert sich der stetigen Verzinsung. Der Zinseszinseffekt wird immer grösser, aber er wächst trotzdem nicht ins Unendliche.
Der Wert des Kapitals nach einem Jahr nähert sich der Zahl 2.718281828459…. Das Kapital nimmt also bei nominell 100% höchstens um 171.828182..% zu.
e = 2.718281828459… heisst Euler'sche Zahl
Wie oben definiert heisst ${{\log }_{e}}y\,\,=\,\,\ln y$ natürlicher Logarithmus.
Beispiele
$\ln 100\,\,=\,\,4.605...\,\,\,denn\,\,\,{{e}^{4.605..}}\,\,=\,\,100$
$\ln 1.1\,\,=\,\,0.0953...\,\,\,denn\,\,\,{{e}^{0.0953...}}\,\,=\,\,1.1$
Wie berechnet man ${{\log }_{a}}y$ für eine beliebige Basis a?
Es lässt sich zeigen, dass allgemein gilt:
Basiswechselsatz:
${{\log }_{a}}\,\,y=\,\,\frac{\log y}{\log a}\,\,=\,\,\frac{\ln y}{\ln a}$
Beispiele
$1. \quad {{\log }_{2}}8=\frac{\log 8}{\log 2}=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$
$2. \quad{{\log }_{3}}25=\frac{\ln 25}{\ln 3}=2.929947..$
Aufgaben
1)
$ {{\log }_{2}}256$
2)
$ {{\log }_{3}}2187$
3)
$ \log 200$
4)
$ \log 2000$
5)
$ \ln 200$
6)
Berechnen Sie die Laufzeit im Einführungsbeispiel des Kapitels 1. Definition des Logarithmus.
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